ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 103
Задание:
Номер 103.
Проведите шесть прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки.
Номер 103.
Запишите все отрезки, прямые и лучи, изображённые на рисунке 47.
Решение:
1. Шесть прямых и 11 точек, по 4 точки на каждой прямой
Нужно расположить \(11\) точек на \(6\) прямых так, чтобы на каждой прямой было ровно \(4\) точки.
Идея
Если каждая точка лежит на двух прямых, то:
- общее число «попаданий» точек на прямые равно \(6 \cdot 4 = 24\);
- значит, если каждая точка считается дважды, то нужно \(24 : 2 = 12\) точек пересечения.
Но по условию нужно 11 точек, значит одна из точек должна лежать на трёх прямых.
Тогда считаем так:
- 10 точек лежат на двух прямых \(\Rightarrow 10 \cdot 2 = 20\),
- 1 точка лежит на трёх прямых \(\Rightarrow 3\).
Итого \(20 + 3 = 23\), а нужно \(24\), значит такой подсчёт не подходит.
Поэтому удобнее построить конфигурацию, где:
- \(10\) точек — точки попарного пересечения прямых;
- \(1\) точка — общая для трёх прямых.
Тогда количество «попаданий»: $$ 10 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 23. $$ Чтобы получить \(24\), одна из точек должна быть учтена ещё раз, то есть одна точка должна быть двойной точкой пересечения, но это невозможно в обычной геометрической постановке.
Следовательно, в такой задаче обычно имеется в виду, что на каждой прямой отмечено ровно 4 точки, а точки могут быть общими для нескольких прямых. Тогда возможна такая схема:
Построение
-
Проведите \(6\) прямых так, чтобы:
- \(5\) прямых проходили через одну общую точку;
- шестая прямая пересекала каждую из этих пяти в отдельных точках.
-
Тогда получится:
- одна общая точка для пяти прямых;
- ещё \(5\) точек пересечения шестой прямой с остальными;
- всего \(6\) точек.
-
Чтобы получить \(11\) точек, добавьте ещё \(5\) точек на одной из прямых, не нарушая условия, чтобы на каждой прямой было ровно по \(4\) точки.
Более подходящий способ
В таких задачах правильная идея такая:
каждая из 6 прямых должна содержать 4 отмеченные точки, а суммарно все точки считаются с учётом совпадений.
Один из стандартных вариантов:
- взять \(4\) точки на первой прямой;
- на второй прямой выбрать \(2\) из этих точек и \(2\) новых;
- на третьей — снова \(2\) общих и \(2\) новых;
- и т.д., пока не получится всего \(11\) различных точек.
2. Запишите все отрезки, прямые и лучи на рисунке 47
На рисунке изображены несколько пересекающихся линий. Обозначим видимые точки буквами, как это обычно делается в подобных заданиях: точки пересечения и концы отрезков.
Прямые
На рисунке видна одна горизонтальная прямая.
Также видна вертикальная прямая через верхнюю точку и точку пересечения с горизонтальной.
Если обозначить их, то можно записать:
- горизонтальная прямая;
- вертикальная прямая.
Отрезки
На рисунке можно выделить отрезки между точками пересечения:
- отрезок по вертикали между верхней точкой и нижней точкой пересечения;
- отрезки на наклонных прямых между соответствующими точками пересечения.
Лучи
Из верхней точки выходят несколько лучей:
- луч вверх;
- луч вниз по вертикали;
- луч влево-вниз по одной наклонной;
- луч вправо-вниз по другой наклонной.
3. По рисунку с точками \(A, B, C, D, E, F, K\)
Отрезки
На рисунке видны отрезки:
- \(AB\),
- \(AD\),
- \(DB\),
- \(DC\),
- \(CB\),
- \(DE\),
- \(BF\),
- \(CK\).
Если записывать только все отрезки, изображённые на рисунке, то перечисляются именно те части прямых, которые ограничены отмеченными точками.
Прямые
На рисунке изображены прямые:
- прямая \(AK\),
- прямая \(EF\),
- прямая \(AB\).
Лучи
Из точки \(B\) видно луч:
- \(BF\).
Из точки \(A\) можно выделить луч:
- \(AK\).
Из точки \(E\) — луч:
- \(EF\).
Ответ
Для первого пункта
Построение нужно делать так, чтобы на шести прямых было по четыре отмеченные точки, а всего получилось 11 различных точек; удобно использовать пересечения прямых с совпадающими точками.
Для рисунка 47
- Прямые: горизонтальная и вертикальная.
- Отрезки: части между точками пересечения на каждой из изображённых линий.
- Лучи: выходящие из верхней точки вверх, вниз, влево-вниз и вправо-вниз.
Для рисунка с буквами
- Отрезки: \(AB, AD, DB, DC, CB, DE, BF, CK\).
- Прямые: \(AK, EF, AB\).
- Лучи: \(AK, EF, BF\).