ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 167

Задание:

Номер 167.
Найдите сумму:

Номер 167.
Кузнечик за один прыжок перемещается вдоль координатного луча вправо на пять единичных отрезков или влево − на три единичных отрезка. Первый прыжок кузнечик совершает вправо на пять единичных отрезков. Сможет ли он за несколько прыжков из точки О $0$ попасть:

Решение:

Решение

Пусть после $n$ прыжков кузнечик сделал:

$k$ прыжков вправо на $5$,
$n-k$ прыжков влево на $3$.

Тогда его координата равна

$$ 5k-3$n-k$=8k-3n. $$

Нужно понять, может ли он попасть в заданную точку $m$.
Это возможно тогда и только тогда, когда уравнение

$$ 8k-3n=m $$

имеет решение в целых неотрицательных $k,n$ при условии $0\le k\le n$.

Эквивалентно: нужно, чтобы число $m$ представилось в виде суммы нескольких $5$ и $-3$, начиная с первого прыжка $+5$.

Удобное наблюдение

После первого прыжка кузнечик находится в точке $5$.

Каждый следующий прыжок изменяет координату либо на $+5$, либо на $-3$.
Значит, с каждым новым прыжком координата меняется на число, сравнимое по модулю $8$:

$$ +5 \equiv -3 \equiv 5 \pmod 8. $$

Следовательно, после $n$ прыжков координата всегда имеет вид

$$ 5n \pmod 8. $$

Так как первый прыжок обязателен и равен $+5$, то достижимы только числа, которые можно получить такой последовательностью.

Проверим, какие остатки по модулю $8$ возможны

Обозначим через $a_n$ множество координат, достижимых после $n$ прыжков.

После 1 прыжка: $a_1=5$.
Каждый следующий шаг либо добавляет $5$, либо вычитает $3$.

Заметим, что

$$ -3 \equiv 5 \pmod 8. $$

То есть любой прыжок изменяет координату на $5 \pmod 8$.
Значит, после $n$ прыжков координата всегда сравнима с

$$ 5n \pmod 8. $$

Так как $5$ и $8$ взаимно просты, при разных $n$ получаются все остатки по модулю $8$.
Следовательно, для любого целого $m$ существует $n$, при котором кузнечик может попасть в точку $m$.

Итак, кузнечик может попасть в любую целую точку.

Ответ

Да, может попасть в любую из указанных точек.