ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 591

Задание:

Номер 591.
Стороны прямоугольного листа бумаги имеют целочисленную длину \(в сантиметрах\), а площадь листа равна 18 см2. Сколько квадратов со стороной 3 см можно вырезать из этого листа?

Номер 591.
Ольга выбрала некоторое натуральное число и нашла остатки при делении его на 3, на 6 и на 9. Оказалось, что сумма остатков равна 15. Найдите эти остатки.

Решение:

1) Прямоугольный лист площадью \(18\text{ см}^2\)

Пусть стороны прямоугольника равны целым числам \(a\) и \(b\), тогда

$$ ab=18. $$

Возможные пары целых множителей:

$$ 1 \cdot 18,\quad 2 \cdot 9,\quad 3 \cdot 6. $$

Квадрат со стороной \(3\) см можно вырезать только если обе стороны прямоугольника не меньше \(3\).

Проверим пары:

• \(1 \cdot 18\): одна сторона меньше \(3\), квадрат не вырезать;
• \(2 \cdot 9\): одна сторона меньше \(3\), квадрат не вырезать;
• \(3 \cdot 6\): можно вырезать.

Сколько квадратов \(3 \times 3\) поместится в прямоугольнике \(3 \times 6\)?

$$ \frac{3}{3} \cdot \frac{6}{3} = 1 \cdot 2 = 2. $$

Ответ:

$$ \boxed{2} $$

2) Остатки при делении на \(3\), \(6\) и \(9\)

Обозначим остатки:

• при делении на \(3\) — \(r_3\),
• при делении на \(6\) — \(r_6\),
• при делении на \(9\) — \(r_9\).

Тогда:

$$ 0 \le r_3 < 3,\qquad 0 \le r_6 < 6,\qquad 0 \le r_9 < 9, $$ и по условию

$$ r_3+r_6+r_9=15. $$

Кроме того, остаток при делении на \(6\) и на \(9\) должен давать тот же остаток при делении на \(3\), то есть

$$ r_6 \equiv r_3 \pmod 3,\qquad r_9 \equiv r_3 \pmod 3. $$

Проверим возможные значения \(r_3\).

Если \(r_3=0\)

Тогда \(r_6\) и \(r_9\) кратны \(3\), а сумма должна быть \(15\). Но $$ r_6<6,\quad r_9<9, $$ возможные кратные \(3\): \(r_6=0,3\), \(r_9=0,3,6\).
Максимальная сумма \(3+6=9\), значит нельзя.

Если \(r_3=1\)

Тогда $$ r_6 \in {1,4},\qquad r_9 \in {1,4,7}. $$ Проверим суммы до \(15\):

• \(1+4+7=12\),
• \(1+4+4=9\),
• \(1+1+7=9\), и т.д.
  До \(15\) не получается.

Если \(r_3=2\)

Тогда $$ r_6 \in {2,5},\qquad r_9 \in {2,5,8}. $$ Нужно получить сумму \(15\). Единственный подходящий вариант:

$$ 2+5+8=15. $$

Проверка:

• \(5 \equiv 2 \pmod 3\),
• \(8 \equiv 2 \pmod 3\),

всё верно.

Ответ:

$$ \boxed{2,\ 5,\ 8} $$