ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 673

Задание:

Номер 673.
В классе 30 учащихся. Они сидят по двое за 15 партами так, что половина всех девочек сидит с мальчиками. Можно ли учеников класса пересадить так, чтобы половина всех мальчиков сидела с девочками?

Номер 673.
Запишите наименьшее число, для записи которого используется только цифра 2 и которое делится нацело на 3.

Решение:

1. В классе 30 учащихся

Обозначим:

$g$ — число девочек,
$b$ — число мальчиков.

Тогда

$$ g+b=30. $$

По условию половина всех девочек сидит с мальчиками. Значит число пар «девочка + мальчик» равно

$$ \frac{g}{2}. $$

А каждая такая пара содержит ровно одного мальчика, следовательно, число мальчиков, сидящих с девочками, тоже равно

$$ \frac{g}{2}. $$

Тогда число мальчиков, сидящих не с девочками, равно

$$ b-\frac{g}{2}. $$

Если пересадить учеников так, чтобы половина всех мальчиков сидела с девочками, то число мальчиков, сидящих с девочками, должно стать

$$ \frac{b}{2}. $$

Но число таких мальчиков не может измениться «произвольно»: в классе всего 15 парт, значит максимум 15 пар учеников. Чтобы половина мальчиков сидела с девочками, нужно, чтобы существовало $\frac{b}{2}$ смешанных пар.

Из условия уже известно, что смешанных пар сейчас $\frac{g}{2}$, а всего пар $15$. Тогда:

$$ \frac{g}{2} \le 15. $$

Это всегда верно, но для возможности новой рассадки нужно, чтобы число мальчиков и девочек позволило сделать половину мальчиков в смешанных парах. Это возможно не всегда.

Проверим на общем соотношении. Так как половина девочек сидит с мальчиками, то девочек должно быть чётное число. Аналогично, чтобы половина мальчиков сидела с девочками, мальчиков тоже должно быть чётное число. Но из

$$ g+b=30 $$

следует, что если $g$ чётно, то и $b$ чётно. Значит, по числу учеников препятствия нет.

Теперь важен сам смысл пересадки: если половина девочек сидит с мальчиками, то число таких девочек равно $\frac{g}{2}$, а оставшиеся девочки сидят в однополых парах. Аналогично можно организовать рассадку так, чтобы половина мальчиков сидела с девочками, если это число не превосходит числа пар.

Поскольку пар $15$, а половина мальчиков равна $\frac{b}{2}$, нужно

$$ \frac{b}{2}\le 15, $$

то есть $b\le 30$, что тоже верно всегда.

Следовательно, да, можно.

Ответ:

Да, можно.

2. Наименьшее число, состоящее только из цифры 2 и делящееся на 3

Число, составленное только из цифр 2, делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Если число состоит из $n$ цифр 2, то сумма цифр равна

$$ 2n. $$

Нужно, чтобы

$$ 2n \equiv 0 \pmod{3}. $$

Так как $2$ и $3$ взаимно просты, это равносильно

$$ n \equiv 0 \pmod{3}. $$

Наименьшее подходящее $n$ — это $3$. Тогда число:

$$ 222. $$

Проверка:

$$ 2+2+2=6, $$

а $6$ делится на $3$, значит и $222$ делится на $3$.

Ответ:

222