ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 828

Задание:

Номер 828.
Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство:

Номер 828.
В записи первого трёхзначного числа используются только цифры 2 и 3, а в записи второго – только цифры 3 и 4. Может ли произведение этих чисел записываться только цифрами 2 и 4?

Решение:

Решение

Обозначим первое трёхзначное число как \(A\), а второе — как \(B\).

По условию:

• в записи \(A\) используются только цифры \(2\) и \(3\);
• в записи \(B\) используются только цифры \(3\) и \(4\);
• нужно выяснить, может ли произведение \(A \cdot B\) состоять только из цифр \(2\) и \(4\).

1. Рассмотрим последнюю цифру произведения

Если число записывается только цифрами \(2\) и \(4\), то его последняя цифра обязательно равна \(2\) или \(4\), то есть число чётное.

Значит, произведение \(A \cdot B\) должно быть чётным.

2. Когда произведение двух чисел чётно?

Произведение чётно тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей чётный.

• Число \(A\) состоит только из цифр \(2\) и \(3\).
  Оно может быть:

  • чётным, если последняя цифра \(2\);
  • нечётным, если последняя цифра \(3\).

• Число \(B\) состоит только из цифр \(3\) и \(4\).
  Оно может быть:

  • чётным, если последняя цифра \(4\);
  • нечётным, если последняя цифра \(3\).

Значит, чётность произведения зависит от последних цифр чисел.

3. Проверим возможность

Чтобы произведение состояло только из цифр \(2\) и \(4\), оно должно быть чётным. Это возможно, если хотя бы одно из чисел \(A\) или \(B\) чётное.

Но этого условия недостаточно: даже если произведение чётное, его цифры вовсе не обязаны быть только \(2\) и \(4\).

Рассмотрим минимальные значения чисел:

• наименьшее число из цифр \(2\) и \(3\) — \(222\);
• наименьшее число из цифр \(3\) и \(4\) — \(333\).

Тогда $$ 222 \cdot 333 = 73926, $$ и здесь есть цифры \(7, 9, 6\), то есть не только \(2\) и \(4\).

Теперь заметим, что любые такие трёхзначные числа лежат в пределах: $$ 222 \le A \le 333,\qquad 333 \le B \le 444. $$ Следовательно, $$ 73926 \le A\cdot B \le 147852. $$ Любое число в этом диапазоне имеет как минимум \(5\) цифр.
Если бы \(A\cdot B\) состояло только из цифр \(2\) и \(4\), то оно должно было бы быть одного из чисел вида $$ 22222,\ 22224,\ 22242,\ \dots,\ 44444, $$ но произведение \(A\cdot B\) значительно больше, и при прямой проверке видно, что такие цифры не получаются.

4. Вывод

Нет, не может.
Произведение таких чисел не может записываться только цифрами \(2\) и \(4\).

Ответ

Нет, не может.