ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 1091

Задание:

Номер 1091.
В 5 классе диктант по русскому языку писали 30 учеников. Петя Ленивцев сделал больше всех ошибок – 14. Покажите, что по крайней мере три ученика сделали одинаковое количество ошибок $в этом классе могли быть ученики, которые не сделали ни одной ошибки$.

Номер 1091.
Не выполняя умножения, сравните:

Решение:

1091.1

Рассмотрим, сколько ошибок мог сделать каждый ученик.

По условию Петя сделал больше всех ошибок, то есть максимум равен $14$. Значит, каждый из 30 учеников сделал одно из чисел ошибок:

$$ 0,1,2,\dots,14 $$

Всего возможных значений — $15$.

Но учеников $30$, а различных значений числа ошибок — только $15$.
Если бы никакие три ученика не сделали одинаковое число ошибок, то каждое значение могло бы встречаться не более двух раз. Тогда максимум учеников с такими результатами был бы

$$ 15 \cdot 2 = 30 $$

То есть для 30 учеников это еще возможно только в случае, если каждое значение от $0$ до $14$ встречается ровно по два раза.

Но тогда число $14$ тоже должно встречаться дважды. Это противоречит условию, что Петя сделал больше всех ошибок, то есть никого больше с $14$ ошибками быть не может.

Следовательно, наше предположение неверно, и по крайней мере три ученика сделали одинаковое число ошибок.

1091.2

Сравним выражения, не выполняя умножения.

1) $200 \cdot \frac{6}{7}$ и $200$

Так как

$$ \frac{6}{7} < 1, $$

то при умножении положительного числа $200$ на дробь меньше $1$ получаем меньшее число:

$$ 200 \cdot \frac{6}{7} < 200. $$

Ответ:
$$ 200 \cdot \frac{6}{7} < 200 $$

2) $\frac{7}{8} \cdot \frac{3}{4}$ и $\frac{7}{4} \cdot \frac{3}{8}$

Перепишем второе выражение, не перемножая:

$$ \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{8}

\frac{7}{8} \cdot \frac{3}{4} $$

потому что множители можно просто переставить:

$$ \frac{7}{4}\cdot \frac{3}{8}

\frac{7\cdot 3}{4\cdot 8}

\frac{7\cdot 3}{8\cdot 4}

\frac{7}{8}\cdot \frac{3}{4}. $$

Значит, выражения равны.

Ответ:
$$ \frac{7}{8} \cdot \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{8} $$

3) $\frac{13}{20}$ и $\frac{13}{20} \cdot \frac{8}{7}$

Так как

$$ \frac{8}{7} > 1, $$

то при умножении положительного числа $\frac{13}{20}$ на число больше $1$ получаем большее число:

$$ \frac{13}{20}\cdot \frac{8}{7} > \frac{13}{20}. $$

Значит,

$$ \frac{13}{20} < \frac{13}{20}\cdot \frac{8}{7}. $$

Ответ:
$$ \frac{13}{20} < \frac{13}{20}\cdot \frac{8}{7} $$

Итоговые ответы

$;200 \cdot \frac{6}{7} < 200$
$;\frac{7}{8} \cdot \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{8}$
$;\frac{13}{20} < \frac{13}{20}\cdot \frac{8}{7}$