ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 1378

Задание:

Номер 1378
Футбольный мяч плотно обтянут сеткой. Из каждого узла сетки выходит три веревки. Может ли в этой сетке быть 999 узлов?

Решение:

Если рассматривать сетку как граф, то каждый узел — это вершина, а каждая верёвка между двумя узлами — ребро.

По условию из каждого узла выходит ровно три верёвки, значит степень каждой вершины равна \(3\).

Используем лемму о рукопожатиях

Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу рёбер, то есть всегда чётна: $$ \sum \deg\(v\)=2E $$ Следовательно, сумма степеней всех узлов должна быть чётным числом.

Если узлов \(999\), и у каждого степень \(3\), то сумма степеней равна $$ 999\cdot 3=2997 $$ Это число нечётное.

Но сумма степеней всех вершин не может быть нечётной. Противоречие.

Ответ

Нет, в такой сетке не может быть \(999\) узлов.