ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 1440

Задание:

Номер 1440
Черепаха ползет по плоскости с постоянной скоростью, изменяя направление движения на 90˚ через каждые 15 мин. Докажите, что вернуться в точку старта она сможет только через целое количество часов после начала движения.

Решение:

Пусть скорость черепахи равна \(v\), а за \(15\) минут она проползает путь
$$ a=15v. $$

За каждый следующий промежуток времени \(15\) минут черепаха поворачивает на \(90^\circ\), поэтому её перемещения образуют последовательность равных векторов, направленных последовательно вдоль четырёх сторон квадрата.

1. Сколько перемещений нужно для возвращения в начало?

Черепаха движется так, что направления повторяются через \(4\) шага, потому что поворот каждый раз на \(90^\circ\). Значит, после \(4k\) отрезков она может оказаться в исходной точке только если суммарный вектор равен нулю.

Рассмотрим один полный цикл из \(4\) перемещений: $$ \vec a_1+\vec a_2+\vec a_3+\vec a_4=0 $$ тогда путь за \(4\) интервала компенсируется.

Если же число интервалов не кратно \(4\), то после \(4k+r\) шагов, где \(r=1,2,3\), останется непогашенный вектор суммы первых \(r\) направлений, и вернуться в старт невозможно.

Следовательно, возврат в начальную точку возможен только после числа промежутков, кратного \(4\).

2. Переведём это во время

Каждый промежуток равен \(15\) минутам. Тогда время возвращения имеет вид $$ 4k\cdot 15=60k \text{ минут}. $$ Но $$ 60k \text{ минут} = k \text{ часов}. $$

Значит, черепаха может вернуться в точку старта только через целое число часов после начала движения.

Ответ

Черепаха возвращается в исходную точку только через \(\boxed{\text{целое число часов}}\), так как для этого нужно пройти число промежутков по \(15\) минут, кратное \(4\), а это даёт время вида \(\boxed{60k}\) минут, то есть \(\boxed{k}\) часов.