ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 85

Задание:

Номер 85.
Отметьте в тетради точки М и К и проведите через них прямую. Отметьте на отрезке МК точку N. Принадлежит ли точка N прямой МК? Отметьте на прямой МК точку Р, лежащую вне отрезка МК. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

Номер 85.
Известно, что АЕ = 12 см, AQ = QB, BM = MC, CK = KD, DR = RE, MK = 4 см \(рис.35\). Найдите длину отрезка QR.

Решение:

Решение

1) Про точки \(M\), \(K\), \(N\) и \(P\)

Через точки \(M\) и \(K\) проведена прямая \(MK\).

• Точка \(N\) отмечена на отрезке \(MK\), значит она лежит на прямой \(MK\).

  Ответ: да, точка \(N\) принадлежит прямой \(MK\).

• Точка \(P\) отмечена на прямой \(MK\), но вне отрезка \(MK\).
  Это значит, что она тоже принадлежит той же прямой.

Прямую можно обозначить двумя буквами, стоящими на ней.
Следовательно, все возможные обозначения этой прямой:

$$ MK,\ KM,\ MN,\ NM,\ KP,\ PK,\ NP,\ PN $$

Но так как прямая задана точками \(M\) и \(K\), основное обозначение:

$$ \text{прямая } MK \text{ \(или } KM\text{\)} $$

2) Найти длину отрезка \(QR\)

Дано:

$$ AE = 12\text{ см}, \quad AQ = QB, \quad BM = MC, \quad CK = KD, \quad DR = RE, \quad MK = 4\text{ см} $$

По рисунку точки лежат на одной прямой в порядке:

$$ A,\ Q,\ B,\ M,\ C,\ K,\ D,\ R,\ E $$

Шаг 1. Найдём \(BM\) и \(MC\)

Так как

$$ BM = MC $$

а отрезок \(MK\) состоит из двух равных частей:

$$ MK = MC + CK $$

Но также известно, что

$$ CK = KD,\quad DR = RE $$

Сейчас важно использовать равенство \(BM = MC\).
Из рисунка видно, что точки \(B, M, C\) идут подряд, и отрезок \(BM\) равен \(MC\).
Поскольку

$$ MK = MC + CK = 4 $$

и по симметрии рисунка все указанные равные отрезки распределены одинаково, получаем:

$$ BM = MC = 2\text{ см} $$

Шаг 2. Найдём \(AQ\) и \(QB\)

Так как

$$ AQ = QB $$

то точка \(Q\) — середина отрезка \(AB\).

Шаг 3. Используем длину \(AE\)

Отрезок \(AE\) состоит из всех маленьких равных частей по рисунку:

$$ AE = AQ + QB + BM + MC + CK + KD + DR + RE $$

Так как попарно равные отрезки:

$$ AQ = QB,\quad BM = MC,\quad CK = KD,\quad DR = RE $$

то обозначим:

$$ AQ = QB = x,\quad BM = MC = y,\quad CK = KD = z,\quad DR = RE = t $$

Тогда:

$$ AE = 2x + 2y + 2z + 2t = 12 $$

$$ x + y + z + t = 6 $$

Кроме того, по условию:

$$ MK = MC + CK = y + z = 4 $$

Теперь найдём:

$$ QR = QB + BM + MC + CK + KD + DR $$

Но на рисунке от \(Q\) до \(R\) лежат отрезки:

$$ QR = QB + BM + MC + CK + KD + DR $$

С учётом равенств:

$$ QR = x + y + y + z + z + t = x + 2y + 2z + t $$

Из

$$ x + y + z + t = 6 $$

и

$$ y + z = 4 $$

получаем:

$$ QR = \(x + y + z + t\) + \(y + z\) = 6 + 4 = 10 $$

Ответ

$$ \boxed{QR = 10\text{ см}} $$