ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 109

Задание:

Номер 109.
На прямой отметили 20 точек так, что расстояние между любыми двумя соседними точками равно 4 см. Найдите расстояние между крайними точками.

Номер 109.
На плоскости проведено пять попарно пересекающихся прямых. Каким может оказаться наименьшее количество точек пересечения этих прямых и каким – наибольшее?

Решение:

109.

1) На прямой отметили 20 точек

Если между любыми двумя соседними точками расстояние равно \(4\) см, то между крайними точками будет \(19\) таких промежутков.

Тогда расстояние между крайними точками:

$$ 19 \cdot 4 = 76 \text{ см} $$

Ответ: \(\boxed{76\text{ см}}\)

2) На плоскости проведено пять попарно пересекающихся прямых

Нужно найти:

• наименьшее возможное число точек пересечения;
• наибольшее возможное число точек пересечения.

Наибольшее число

Если никакие три прямые не проходят через одну и ту же точку, то каждая пара прямых пересекается в своей точке.

Число пар прямых среди \(5\) равно:

$$ \binom{5}{2} = 10 $$

Значит, наибольшее число точек пересечения равно \(\boxed{10}\).

Наименьшее число

Чтобы точек пересечения было как можно меньше, нужно сделать так, чтобы как можно больше прямых проходило через одни и те же точки.

Так как прямые попарно пересекаются, все \(5\) прямых должны пересекаться. Минимум можно расположить их так, чтобы:

• 2 прямые пересекались в одной точке,
• 2 другие — в другой точке,
• и оставшаяся прямая проходила через обе эти точки.

Но нужно учесть, что все пары прямых должны пересекаться. Для пяти прямых минимально можно получить 1 точку, если все пять прямых проходят через одну общую точку.

Это возможно, и условие «попарно пересекающиеся» при этом выполнено.

Значит, наименьшее число точек пересечения равно \(\boxed{1}\).

Ответ

$$ \boxed{1 \text{ и } 10} $$