ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 220

Задание:

Номер 220.
Найдите разность:

Номер 220.
1) На сколько сумма 1 + 3 + 5 + ... + 99 меньше, чем сумма 2 + 4 + 6 + ... + 100? 2) Какая из сумм 1 + 3 + 5 + ... + 2001 и 2 + 4 + 6 + ... + 2000 больше и на сколько?

Решение:

220.

1) На сколько сумма \(1 + 3 + 5 + \dots + 99\) меньше, чем сумма \(2 + 4 + 6 + \dots + 100\)?

Сначала найдём обе суммы.

Первая сумма:

$$ 1 + 3 + 5 + \dots + 99 $$ Это сумма первых \(50\) нечётных чисел, так как $$ 99 = 2 \cdot 50 - 1. $$ Сумма первых \(n\) нечётных чисел равна \(n^2\), значит: $$ 1 + 3 + 5 + \dots + 99 = 50^2 = 2500. $$

Вторая сумма:

$$ 2 + 4 + 6 + \dots + 100 $$ Это сумма первых \(50\) чётных чисел: $$ 2\(1 + 2 + 3 + \dots + 50\). $$ Сумма чисел от \(1\) до \(50\): $$ 1 + 2 + \dots + 50 = \frac{50 \cdot 51}{2} = 1275. $$ Тогда $$ 2 + 4 + \dots + 100 = 2 \cdot 1275 = 2550. $$

Теперь найдём разность: $$ 2550 - 2500 = 50. $$

Ответ:

$$ \boxed{50} $$

2) Какая из сумм \(1 + 3 + 5 + \dots + 2001\) и \(2 + 4 + 6 + \dots + 2000\) больше и на сколько?

Первая сумма:

$$ 1 + 3 + 5 + \dots + 2001 $$ Это сумма первых \(1001\) нечётных чисел, так как $$ 2001 = 2 \cdot 1001 - 1. $$ Следовательно, $$ 1 + 3 + 5 + \dots + 2001 = 1001^2 = 1002001. $$

Вторая сумма:

$$ 2 + 4 + 6 + \dots + 2000 $$ Это сумма первых \(1000\) чётных чисел: $$ 2\(1 + 2 + 3 + \dots + 1000\). $$ Сумма первых \(1000\) натуральных чисел: $$ 1 + 2 + \dots + 1000 = \frac{1000 \cdot 1001}{2} = 500500. $$ Тогда $$ 2 + 4 + \dots + 2000 = 2 \cdot 500500 = 1001000. $$

Сравним: $$ 1002001 - 1001000 = 1001. $$

Значит, больше первая сумма, и больше она на $$ \boxed{1001}. $$

Ответ:

1. \(2 + 4 + 6 + \dots + 100\) больше на \(\boxed{50}\).
2. \(1 + 3 + 5 + \dots + 2001\) больше на \(\boxed{1001}\).