ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 543

Задание:

Номер 543.
Докажите, что последняя цифра числа а равна остатку при делении этого числа на 10.

Номер 543.
Али-Баба перевозил найденное в пещере разбойников золото на четырёх ослах в 22 одинаковых мешках. На первого осла он погрузил 80 кг золота, на второго – 100 кг, на третьего – 120 кг, на четвёртого – 140 кг. Сколько мешков золота было нагружено на каждого осла?

Решение:

1) Докажите, что последняя цифра числа \(a\) равна остатку при делении этого числа на \(10\)

При делении любого целого числа \(a\) на \(10\) существует единственное представление вида

$$ a = 10q + r, $$

где

$$ 0 \le r < 10. $$

Число \(r\) называется остатком от деления \(a\) на \(10\).

Теперь заметим: число \(10q\) всегда оканчивается на \(0\), значит, добавление \(r\) изменяет только последнюю цифру числа. Поэтому последняя цифра числа \(a\) совпадает с числом \(r\).

Следовательно, последняя цифра числа \(a\) равна остатку при делении этого числа на \(10\).

2) Задача про мешки золота

Обозначим массу одного мешка через \(x\) кг.
По условию все мешки одинаковые, а всего их \(22\), значит общая масса золота равна

$$ 22x. $$

С другой стороны, массы золота, погружённые на ослов:

$$ 80 + 100 + 120 + 140 = 440 \text{ кг}. $$

Значит,

$$ 22x = 440. $$

Отсюда

$$ x = \frac{440}{22} = 20. $$

Значит, один мешок весит \(20\) кг.

Теперь найдём, сколько мешков было у каждого осла:

• первый осёл: \(\frac{80}{20} = 4\) мешка;
• второй осёл: \(\frac{100}{20} = 5\) мешков;
• третий осёл: \(\frac{120}{20} = 6\) мешков;
• четвёртый осёл: \(\frac{140}{20} = 7\) мешков.

Проверка:

$$ 4+5+6+7=22. $$

Ответ:

• на первого осла — \(4\) мешка,
• на второго — \(5\) мешков,
• на третьего — \(6\) мешков,
• на четвёртого — \(7\) мешков.