ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 659
Задание:
Номер 659.
Сколько существует различных прямоугольников, периметры которых равны 24 см, а длины сторон выражены целым числом сантиметров?
Номер 659.
В клетках таблицы размером 3 × 3 стоят нули. Разрешается выбрать любой квадрат размером 2 × 2 клетки и увеличить числа во всех его клетках на единицу. Можно ли после нескольких таких операций получить таблицу, изображенную на рисунке 165?
Решение:
1. Сколько существует различных прямоугольников с периметром \(24\) см и целыми сторонами?
Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\), где \(a\) и \(b\) — целые положительные числа.
По условию периметр равен \(24\) см, значит
$$ 2\(a+b\)=24. $$
Тогда
$$ a+b=12. $$
Нужно найти все различные пары целых положительных чисел \((a,b\)), не различая прямоугольники с переставленными сторонами, то есть считаем пары только с \(a\le b\).
Перечислим все варианты:
$$ \(1,11\),\ \(2,10\),\ \(3,9\),\ \(4,8\),\ \(5,7\),\ \(6,6\). $$
Всего таких прямоугольников:
$$ 6. $$
Ответ:
$$ \boxed{6} $$
2. Можно ли после нескольких операций получить таблицу с рисунка 165?
Обозначим клетки таблицы \(3\times 3\) так:
$$ \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & x_{13}\ x_{21} & x_{22} & x_{23}\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{matrix} $$
Изначально все клетки равны \(0\).
Разрешённая операция: выбрать любой квадрат \(2\times 2\) и увеличить все его четыре клетки на \(1\).
Нужно выяснить, можно ли получить таблицу:
$$ \begin{matrix} 4 & 6 & 5\ 7 & 18 & 9\ 6 & 10 & 7 \end{matrix} $$
Шаг 1. Введём переменные для числа операций
Пусть:
- \(a\) — число операций на левом верхнем квадрате \(2\times 2\),
- \(b\) — на правом верхнем,
- \(c\) — на левом нижнем,
- \(d\) — на правом нижнем.
Тогда итоговые числа в клетках будут:
$$ \begin{matrix} a & a+b & b\ a+c & a+b+c+d & b+d\ c & c+d & d \end{matrix} $$
Но это неверная запись, потому что каждая операция влияет на конкретные клетки так:
- левый верхний квадрат — клетки \((1,1\),\(1,2\),\(2,1\),\(2,2\)),
- правый верхний — \((1,2\),\(1,3\),\(2,2\),\(2,3\)),
- левый нижний — \((2,1\),\(2,2\),\(3,1\),\(3,2\)),
- правый нижний — \((2,2\),\(2,3\),\(3,2\),\(3,3\)).
Значит итоговая таблица имеет вид:
$$ \begin{matrix} a & a+b & b\ a+c & a+b+c+d & b+d\ c & c+d & d \end{matrix} $$
Теперь приравняем её к заданной:
$$ \begin{matrix} 4 & 6 & 5\ 7 & 18 & 9\ 6 & 10 & 7 \end{matrix} $$
Получаем систему:
$$ \begin{cases} a=4,\ a+b=6,\ b=5,\ a+c=7,\ a+b+c+d=18,\ b+d=9,\ c=6,\ c+d=10,\ d=7. \end{cases} $$
Шаг 2. Проверим согласованность
Из первых и третьих уравнений:
$$ a=4,\quad b=5. $$
Но тогда из второго уравнения должно быть:
$$ a+b=4+5=9, $$
а по таблице требуется \(6\).
Это противоречие.
Вывод
Получить такую таблицу невозможно.
Ответ:
$$ \boxed{\text{Нет, нельзя}} $$