ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 823

Задание:

Номер 823.
Сравните числа:

Номер 823.
В кубе с ребром 3 см проделали три сквозных квадратных отверстия со стороной 1 см $рис. 201$. Найдите объём оставшейся части.

Решение:

Обозначим объём исходного куба и объём вырезанных частей.

1. Объём куба

Ребро куба равно $3$ см, значит его объём:

$$ V_{\text{куба}} = 3^3 = 27 \text{ см}^3 $$

2. Объём каждого квадратного сквозного отверстия

Каждое отверстие — это квадратный канал со стороной $1$ см, проходящий насквозь через куб на длину $3$ см.

Значит объём одного отверстия:

$$ V_1 = 1^2 \cdot 3 = 3 \text{ см}^3 $$

Таких отверстий три, поэтому суммарный объём вырезанного материала:

$$ 3 \cdot 3 = 9 \text{ см}^3 $$

3. Проверим, не пересекаются ли отверстия

Отверстия расположены взаимно перпендикулярно и проходят через центр куба.
Но в таких задачах важно учесть возможные пересечения вырезанных каналов.

Каждое отверстие — это $1 \times 1 \times 3$, и они пересекаются в центральной части куба.
Однако по рисунку видно, что вырезы сделаны в трёх взаимно перпендикулярных направлениях и имеют общую центральную часть. Поэтому простое вычитание $9$ см$^3$ дало бы лишнее вычитание пересечений.

Рассмотрим их как три взаимно перпендикулярных туннеля толщиной $1$ см, проходящих через центр куба. Тогда внутри куба вырезан не объём $9$, а объединение трёх каналов.

Объём объединения удобно найти так:

каждый канал имеет объём $3$,
попарные пересечения каждого двух каналов — это три прямоугольных параллелепипеда объёма $1$ каждый,
тройное пересечение — кубик объёма $1$.

По формуле включений-исключений:

$$ V_{\text{вырез}} = 3+3+3 - 1 - 1 - 1 + 1 = 7 \text{ см}^3 $$

4. Объём оставшейся части

$$ V_{\text{ост}} = 27 - 7 = 20 \text{ см}^3 $$

Ответ:

$$ \boxed{20 \text{ см}^3} $$