ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 1047

Задание:

Номер 1047.
Среднее арифметическое четырёх чисел равно 2,1, а среднее арифметическое трёх других чисел – 2,8. Найдите среднее арифметическое этих семи чисел.

Номер 1047.
Вычислите значение выражения

Решение:

1) Среднее арифметическое семи чисел

Пусть сумма первых четырёх чисел равна \(S_1\), а сумма трёх других чисел — \(S_2\).

Тогда

$$ \frac{S_1}{4}=2{,}1 \quad \Rightarrow \quad S_1=4\cdot 2{,}1=8{,}4 $$

$$ \frac{S_2}{3}=2{,}8 \quad \Rightarrow \quad S_2=3\cdot 2{,}8=8{,}4 $$

Общая сумма семи чисел:

$$ S=S_1+S_2=8{,}4+8{,}4=16{,}8 $$

Теперь найдём среднее арифметическое семи чисел:

$$ \frac{16{,}8}{7}=2{,}4 $$

Ответ:

$$ \boxed{2{,}4} $$

2) Вычислите значение выражения

$$ \frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{2}{29\cdot 31} $$

Заметим, что каждый член можно разложить так:

$$ \frac{2}{n\(n+2\)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2} $$

Тогда сумма примет вид:

$$ \left\(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right\)+\left\(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right\)+\cdots+\left\(\frac{1}{29}-\frac{1}{31}\right\) $$

Это телескопическая сумма: все промежуточные слагаемые сокращаются.

Остаётся:

$$ \frac{1}{3}-\frac{1}{31} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{31-3}{93}=\frac{28}{93} $$

Ответ:

$$ \boxed{\frac{28}{93}} $$