ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 1046

Задание:

Номер 1046.
Купили 2 кг конфет одного вида по 255 р. за килограмм, 4 кг конфет второго вида по 285 р. за килограмм и ещё 3 кг конфет третьего вида. Средняя цена купленных конфет составляла 260 р. за килограмм. Сколько стоил килограмм конфет третьего вида?

Номер 1046.
Вычислите значение выражения

Решение:

1) Сколько стоил килограмм конфет третьего вида?

Обозначим цену \(1\) кг конфет третьего вида за \(x\) рублей.

Найдём общую массу конфет

$$ 2+4+3=9 \text{ кг} $$

Найдём общую стоимость первых двух видов

Первый вид: $$ 2 \cdot 255 = 510 $$

Второй вид: $$ 4 \cdot 285 = 1140 $$

Тогда стоимость всех конфет равна: $$ 9 \cdot 260 = 2340 $$

Составим уравнение

Стоимость трёх килограммов конфет третьего вида: $$ 3x $$

Тогда: $$ 510+1140+3x=2340 $$

$$ 1650+3x=2340 $$

$$ 3x=2340-1650=690 $$

$$ x=\frac{690}{3}=230 $$

Ответ: \(\boxed{230}\) рублей за килограмм.

2) Вычислите значение выражения

Рассмотрим сумму: $$ \frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+\cdots+\frac{1}{19\cdot 20} $$

Каждую дробь удобно представить так: $$ \frac{1}{n\(n+1\)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} $$

Тогда: $$ \frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} $$ $$ \frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4} $$ $$ \frac{1}{4\cdot 5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5} $$ $$ \cdots $$ $$ \frac{1}{19\cdot 20}=\frac{1}{19}-\frac{1}{20} $$

Складываем: $$ \left\(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right\)+\left\(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right\)+\left\(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right\)+\cdots+\left\(\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\right\) $$

Все промежуточные слагаемые сокращаются: $$ -\frac{1}{3}+\frac{1}{3},\quad -\frac{1}{4}+\frac{1}{4},\quad \ldots,\quad -\frac{1}{19}+\frac{1}{19} $$

Остаётся: $$ \frac{1}{2}-\frac{1}{20} $$

Приведём к общему знаменателю: $$ \frac{1}{2}=\frac{10}{20} $$

$$ \frac{10}{20}-\frac{1}{20}=\frac{9}{20} $$

Ответ: \(\boxed{\frac{9}{20}}\)