ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 1051
Задание:
Номер 1051.
Семь гномов собрались вечером вокруг костра. Оказалось, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому роста двух его соседей. Докажите, что все гномы были одного роста.
Номер 1051.
Сережа и Саша играют в такую игру: они по очереди берут камешки из кучки, в которой лежит 100 камешков. За один ход каждому разрешается взять или 1 камешек, или 3. Кто из них возьмет последний камешек, если игру начинает Сережа?
Решение:
1. Семь гномов вокруг костра
Обозначим рост гномов по кругу через
$$
x_1,x_2,\dots,x_7.
$$
По условию для каждого \(i\) \(с индексами по модулю (7\)) рост \(i\)-го гнома равен среднему арифметическому ростов двух соседей: $$ x_i=\frac{x_{i-1}+x_{i+1}}{2}. $$
Умножим на \(2\): $$ 2x_i=x_{i-1}+x_{i+1}. $$ Перенесём всё в одну сторону: $$ x_{i+1}-x_i=x_i-x_{i-1}. $$
То есть разность между соседними ростами постоянна: $$ x_{2}-x_1=x_3-x_2=\cdots=x_1-x_7. $$
Обозначим эту постоянную разность через \(d\). Тогда $$ x_2=x_1+d,\quad x_3=x_1+2d,\quad \dots,\quad x_7=x_1+6d. $$
Но так как гномы стоят по кругу, должно также выполняться $$ x_1=x_7+d=x_1+7d. $$ Следовательно, $$ 7d=0 \quad \Rightarrow \quad d=0. $$
Значит, $$ x_1=x_2=\cdots=x_7. $$
Итак, все гномы были одного роста.
2. Игра с 100 камешками
За один ход можно взять \(1\) или \(3\) камешка.
Рассмотрим позиции по количеству камешков и определим:
- проигрышная позиция — если из неё любой ход ведёт в выигрышную;
- выигрышная позиция — если есть ход в проигрышную.
Посчитаем первые позиции.
Меньше \(4\) камешков
- \(1\): можно взять \(1\) и выиграть, значит позиция выигрышная.
- \(2\): можно взять \(1\), останется \(1\) — выигрышная позиция для следующего, значит \(2\) — проигрышная.
- \(3\): можно взять \(3\) и сразу выиграть, значит выигрышная.
- \(4\): можно взять \(1\), останется \(3\) — выигрышная; можно взять \(3\), останется \(1\) — тоже выигрышная. Значит \(4\) — проигрышная.
Видно, что проигрышные позиции идут через \(4\): $$ 2,4,6,8,\dots $$ Проверим правило:
Если на столе \(4k\) камешков, то:
- после взятия \(1\) останется \(4k-1\), а это выигрышная позиция;
- после взятия \(3\) останется \(4k-3\), а это тоже выигрышная позиция.
Значит, позиция \(4k\) — проигрышная.
Если же камешков \(4k+1\), \(4k+2\) или \(4k+3\), можно взять \(1\) или \(3\) так, чтобы оставить сопернику число, кратное \(4\), то есть проигрышную позицию.
Следовательно, проигрышные позиции — это числа, кратные \(4\).
Так как $$ 100=4\cdot 25, $$ то начальная позиция проигрышная для первого игрока.
Ответ: последний камешек возьмёт Саша.