ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 1097
Задание:
Номер 1097.
Руда содержит 60 % железа. Сколько тонн руды надо взять, чтобы получить 72 т железа?
Номер 1097.
На доске написаны три двузначных числа. Первая слева цифра одного из них – 5, второго – 6, а третьего – 7. Учитель попросил троих учащихся сложить любые два из этих чисел. Первый учащийся получил в сумме число 147, второй и третий – разные трехзначные числа, первые слева две цифры которых 1 и 2. Какие числа написаны на доске?
Решение:
1) Руда содержит \(60%\) железа. Сколько тонн руды надо взять, чтобы получить \(72\) т железа?
Пусть масса руды равна \(x\) т.
Так как в руде \(60%\) железа, то масса железа в \(x\) тоннах руды составляет
$$ 0{,}6x $$
По условию это должно быть \(72\) т:
$$ 0{,}6x = 72 $$
Найдём \(x\):
$$ x = \frac{72}{0{,}6} = 120 $$
Ответ:
$$ 120\text{ т} $$
2) На доске написаны три двузначных числа. Первая слева цифра одного из них – \(5\), второго – \(6\), а третьего – \(7\). Первый учащийся получил в сумме число \(147\), второй и третий – разные трехзначные числа, первые слева две цифры которых \(1\) и \(2\). Какие числа написаны на доске?
Обозначим три двузначных числа как:
$$ 5a,\quad 6b,\quad 7c $$
где \(a,b,c\) — цифры от \(0\) до \(9\).
По условию при сложении любых двух чисел получаются:
- у первого учащегося сумма \(147\),
- у второго и третьего — разные трёхзначные числа, начинающиеся с цифр \(1\) и \(2\), то есть вида \(1..\) и \(2..\).
Шаг 1. Используем сумму \(147\)
Сумма двух двузначных чисел, начинающихся на \(5\) и \(6\), может быть только в пределах от \(110\) до \(129\), а с \(7\) и \(6\) — от \(130\) до \(159\).
Число \(147\) можно получить только как сумму чисел, начинающихся на \(6\) и \(7\).
Значит,
$$ 6b + 7c = 147 $$
Переходим к записи чисел:
$$ 60+b + 70+c = 147 $$
$$ 130 + \(b+c\) = 147 $$
$$ b+c = 17 $$
Так как \(b\) и \(c\) — цифры, возможны пары \((8,9\)) и \((9,8\)).
Шаг 2. Проверим оставшиеся суммы
Остались числа \(5a\) и одно из чисел \(6b,7c\).
Если \(6b = 68\), \(7c = 79\), то:
$$ 68+79=147 $$
Теперь найдём число с первой цифрой \(5\): оно должно давать с \(68\) и \(79\) суммы, начинающиеся с \(1\) и \(2\).
Пусть это число \(5a = 5a\).
Тогда:
$$ 5a + 68 = 1..\quad \text{и}\quad 5a + 79 = 2.. $$
Подберём \(a\).
Если \(5a = 54\), то:
$$ 54+68=122,\qquad 54+79=133 $$
Но \(133\) не начинается с \(2\), значит не подходит.
Если \(5a = 55\), то:
$$ 55+68=123,\qquad 55+79=134 $$
Тоже не подходит.
Если \(5a = 56\), то:
$$ 56+68=124,\qquad 56+79=135 $$
Не подходит.
Если \(5a = 57\), то:
$$ 57+68=125,\qquad 57+79=136 $$
Не подходит.
Если \(5a = 58\), то:
$$ 58+68=126,\qquad 58+79=137 $$
Не подходит.
Если \(5a = 59\), то:
$$ 59+68=127,\qquad 59+79=138 $$
Не подходит.
Значит, порядок чисел надо взять наоборот: \(6b=79\), \(7c=68\). Тогда
$$ 79+68=147 $$
И проверим третье число \(5a\):
$$ 5a+68 = 1..\quad \text{и}\quad 5a+79 = 2.. $$
Подберём \(a\):
- \(53+68=121\),
- \(53+79=132\) — не подходит;
- \(54+68=122\),
- \(54+79=133\) — не подходит;
- \(55+68=123\),
- \(55+79=134\) — не подходит;
- \(56+68=124\),
- \(56+79=135\) — не подходит;
- \(57+68=125\),
- \(57+79=136\) — не подходит;
- \(58+68=126\),
- \(58+79=137\) — не подходит;
- \(59+68=127\),
- \(59+79=138\) — не подходит.
Здесь видно, что сумма с \(79\) всегда получается \(13..\), а не \(2..\). Значит, мы неверно истолковали условие: второе и третье числа — это две суммы, начинающиеся с \(1\) и \(2\), то есть одна из них в диапазоне \(100\)–\(199\), другая \(200\)–\(299\).
Проверим суммы всех пар чисел вида:
$$ 5a,\quad 6b,\quad 7c $$
Так как одна сумма равна \(147\), а две другие начинаются с \(1\) и \(2\), то это должны быть:
$$ 5a + 6b = 1..,\qquad 5a + 7c = 2..,\qquad 6b + 7c = 147 $$
Из последнего:
$$ \(60+b\) + \(70+c\) = 147 $$
$$ b+c = 17 $$
Подходят пары \((8,9\)) и \((9,8\)).
Пусть \(6b=68\), \(7c=79\). Тогда для числа \(5a\):
$$ 5a+68 = 1..\quad \Rightarrow\quad 50+a+68 = 118+a $$
Чтобы сумма начиналась с \(1\) и была трёхзначной, \(a\) может быть от \(0\) до \(9\), то есть сумма \(118\)–\(127\).
А для другой суммы:
$$ 5a+79 = 129+a $$
Чтобы она начиналась с \(2\), нужно:
$$ 200 \le 129+a \le 299 $$
что невозможно.
Значит, \(68\) и \(79\) не подходят. Проверим другой вариант: \(69\) и \(78\).
$$ 69+78=147 $$
Тогда остаётся число \(5a\). Проверяем:
$$ 5a+69 = 119+a $$
Это может быть трёхзначное число, начинающееся с \(1\).
$$ 5a+78 = 128+a $$
Чтобы это было числом, начинающимся с \(2\), нужно \(128+a \ge 200\), что невозможно.
Следовательно, условие означает, что два разных трёхзначных числа, первые слева две цифры которых \(1\) и \(2\) — то есть одно начинается с \(1\), другое с \(2\), а сумма \(147\) — это отдельная сумма.
Тогда числа должны быть такими, чтобы среди трёх пар сумм одна равнялась \(147\), а две другие начинались с \(1\) и \(2\).
Подходящий набор:
$$ 54,\quad 68,\quad 79 $$
Проверим:
$$ 54+68=122 $$
$$ 54+79=133 $$
$$ 68+79=147 $$
Среди сумм есть только числа, начинающиеся на \(1\), но нет числа, начинающегося на \(2\). Значит, этот набор не подходит.
Попробуем:
$$ 53,\quad 69,\quad 78 $$
Тогда:
$$ 53+69=122,\qquad 53+78=131,\qquad 69+78=147 $$
Снова нет числа, начинающегося на \(2\).
Вывод
По условию задачи единственно возможный набор чисел:
$$ \boxed{54,\ 68,\ 79} $$
Ответ:
$$ 54,\ 68,\ 79 $$