ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 1128

Задание:

Номер 1128.
Решите уравнение:



Номер 1128.
Андрей возводил натуральное число в четвертую степень и в результате получил число 700 … 04. Не ошибся ли Андрей?

Решение:

Решение

Пусть натуральное число, которое возводил Андрей в четвертую степень, равно \(n\). Тогда по условию

$$ n^4 = 700\ldots 04. $$

Нужно выяснить, может ли такое число быть четвертой степенью натурального числа.

1. Последние цифры четвертых степеней

Рассмотрим, какими могут быть последние две цифры числа \(n^4\), если \(n\) — натуральное число. Для этого достаточно посмотреть на последние цифры \(n\):

• если \(n \equiv 0 \pmod{10}\), то \(n^4\) оканчивается на \(00\);
• если \(n \equiv 1 \pmod{10}\), то \(n^4\) оканчивается на \(01\);
• если \(n \equiv 2 \pmod{10}\), то \(n^4 = 16\), оканчивается на \(16\);
• если \(n \equiv 3 \pmod{10}\), то \(n^4 = 81\), оканчивается на \(81\);
• если \(n \equiv 4 \pmod{10}\), то \(n^4 = 256\), оканчивается на \(56\);
• если \(n \equiv 5 \pmod{10}\), то \(n^4\) оканчивается на \(25\);
• если \(n \equiv 6 \pmod{10}\), то \(n^4\) оканчивается на \(96\);
• если \(n \equiv 7 \pmod{10}\), то \(n^4\) оканчивается на \(01\);
• если \(n \equiv 8 \pmod{10}\), то \(n^4\) оканчивается на \(16\);
• если \(n \equiv 9 \pmod{10}\), то \(n^4\) оканчивается на \(41\).

Значит, последняя цифра четвертой степени может быть только

$$ 0,\ 1,\ 5,\ 6. $$

Число вида \(700\ldots 04\) оканчивается на \(04\), то есть его последняя цифра равна \(4\).

2. Вывод

Так как четвертая степень натурального числа не может оканчиваться на \(4\), то число \(700\ldots 04\) не может быть четвертой степенью натурального числа.

Ответ

$$ \boxed{\text{Андрей ошибся.}} $$