ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 104

Задание:

Номер 104.
На плоскости проведены три прямые. На одной прямой отмечено пять точек, на второй – семь точек, а на третьей – три точки. Какое наименьшее количество различных точек может оказаться отмеченным?

Номер 104.
Начертите два луча так, чтобы их общая часть была:

Решение:

Номер 104

Рассмотрим три прямые и количество отмеченных на них точек:

на первой прямой — $5$ точек;
на второй — $7$ точек;
на третьей — $3$ точки.

Нужно найти наименьшее возможное число различных точек на плоскости, если точки могут совпадать, но только если они лежат на нескольких прямых одновременно.

Идея

Чтобы число различных точек было наименьшим, нужно как можно больше точек совместить между разными прямыми.

Но любые две разные прямые пересекаются не более чем в одной точке. Значит:

первая и вторая прямые могут иметь максимум $1$ общую точку;
первая и третья — максимум $1$ общую точку;
вторая и третья — максимум $1$ общую точку.

Можно расположить три прямые так, чтобы они попарно пересекались в трёх разных точках.

Тогда эти три точки будут считаться одновременно для двух прямых каждая.

Подсчёт

Обозначим:

$A$ — общая точка первой и второй прямых;
$B$ — общая точка первой и третьей;
$C$ — общая точка второй и третьей.

Тогда:

на первой прямой уже заняты $2$ точки: $A$ и $B$, нужно ещё $3$ точки;
на второй прямой заняты $2$ точки: $A$ и $C$, нужно ещё $5$ точек;
на третьей прямой заняты $2$ точки: $B$ и $C$, нужно ещё $1$ точка.

Итого различных точек:

$$ 3 + 3 + 5 + 1 = 12 $$

Но здесь мы посчитали не совсем удобно. Проще считать так:

всего точек по отдельности:
$$ 5 + 7 + 3 = 15 $$
каждая общая точка уменьшает общее число на $1$, а общих точек может быть максимум $3$.

Значит минимально:

$$ 15 - 3 = 12 $$

Ответ

$$ \boxed{12} $$

Дополнительная часть

Во второй части текста указано: «Начертите два луча так, чтобы их общая часть была:», но продолжение задания отсутствует. Если нужно, пришлите полное условие — и я решу его тоже.