ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 297

Задание:

Номер 297.
Найдите на рисунке 93 острые, тупые и прямые углы.


Номер 297.
Решая задачи 219 \(1\) и 219 \(2\), вы нашли значения числовых выражений 1 + 2 + 3 + … + 10 и 1 + 2 + 3 + … + 100. Заметим, что к тем же результатам можно прийти, найдя значения выражений \(11 · 10\) : 2 и \(101 · 100\) : 2 соответственно. Выскажите гипотезу, по какой формуле можно найти значение S выражения 1 + 2 + 3 + … + n, где n – любое натуральное число, больше 1. Проверьте свою гипотезу для: 1) n = 15; 2) n = 20; 3) n = 30.

Решение:

№297

1) Найдём на рисунке 93 острые, тупые и прямые углы

На рисунке изображены два четырёхугольника: \(ACKM\) и \(POTQ\).

Фигура \(a\)

Рассмотрим углы:

• \(\angle A\) — прямой, так как стороны \(AC\) и \(AK\) перпендикулярны.
• \(\angle C\) — тупой, так как угол между \(CA\) и \(CM\) больше \(90^\circ\).
• \(\angle K\) — острый, так как угол между \(KA\) и \(KM\) меньше \(90^\circ\).
• \(\angle M\) — острый, так как угол между \(MC\) и \(MK\) меньше \(90^\circ\).

Итого для фигуры \(a\):

• прямой угол: \(\angle A\);
• тупой угол: \(\angle C\);
• острые углы: \(\angle K, \angle M\).

Фигура \(б\)

Рассмотрим углы:

• \(\angle P\) — острый;
• \(\angle O\) — тупой;
• \(\angle Q\) — прямой;
• \(\angle T\) — тупой.

Итого для фигуры \(б\):

• острые углы: \(\angle P\);
• тупые углы: \(\angle O, \angle T\);
• прямой угол: \(\angle Q\).

2) Найдём формулу для суммы \(1+2+3+\dots+n\)

Обозначим

$$ S = 1+2+3+\dots+n. $$

Из примеров:

$$ 1+2+\dots+10 = \frac{11\cdot 10}{2}, \qquad 1+2+\dots+100 = \frac{101\cdot 100}{2}. $$

Можно предположить общую формулу:

$$ S=\frac{n\(n+1\)}{2}. $$

Проверка гипотезы

1) При \(n=15\)

$$ S=\frac{15\cdot 16}{2}=120. $$

Проверка сложением:

$$ 1+2+3+\dots+15=120. $$

2) При \(n=20\)

$$ S=\frac{20\cdot 21}{2}=210. $$

Проверка:

$$ 1+2+3+\dots+20=210. $$

3) При \(n=30\)

$$ S=\frac{30\cdot 31}{2}=465. $$

Проверка:

$$ 1+2+3+\dots+30=465. $$

Ответ

$$ 1+2+3+\dots+n=\frac{n\(n+1\)}{2}. $$

Проверка: $$ \begin{aligned} n=15 &\Rightarrow S=120,\ n=20 &\Rightarrow S=210,\ n=30 &\Rightarrow S=465. \end{aligned} $$