ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 541

Задание:

Номер 541.
В одном осеннем месяце суббот и понедельников оказалось больше, чем пятниц. Каким днём недели было девятнадцатое число этого месяца? Какой это был месяц?

Номер 541.
Для работы шести одинаковых двигателей в течение 8 ч требуется 672 л топлива. На сколько часов работы хватит 98 л топлива одному такому двигателю?

Решение:

1) Календарная задача

В каждом месяце число определённых дней недели может отличаться только на $0$ или $1$.

Пусть в месяце $n$ дней. Тогда:

каждое число недели встречается $\left\lfloor \dfrac{n}{7} \right\rfloor$ раз;
ещё $n \bmod 7$ дней недели встречаются по одному дополнительному разу.

То есть при месяце из $30$ дней:

$2$ дня недели встречаются $5$ раз,
остальные $5$ дней недели — по $4$ раза.

При месяце из $31$ дня:

$3$ дня недели встречаются $5$ раз,
остальные $4$ дня недели — по $4$ раза.

По условию суббот было больше, чем пятниц, и понедельников было больше, чем пятниц. Значит, и суббота, и понедельник должны входить в число дней, встречающихся $5$ раз, а пятница — нет.

Следовательно, в месяце было $30$ дней, и ровно два дня недели встречались по $5$ раз. Эти два дня — понедельник и суббота.

Теперь определим первый день месяца. В $30-дневном$ месяце $5$ раз встречаются дни недели, которые приходятся на числа:

$$ 1,\ 8,\ 15,\ 22,\ 29 $$

Это один и тот же день недели. Значит, если 1-е число — $d$, то 8-е, 15-е, 22-е, 29-е — тоже $d$.

Так как больше всего были понедельники и субботы, среди них должен быть один и тот же день недели через $7$ дней. Возможен только такой порядок, при котором:

1-е число — понедельник,
тогда 8-е, 15-е, 22-е, 29-е — понедельники,
а 6-е, 13-е, 20-е, 27-е — субботы.

Тогда 19-е число — это: $$ 19 = 15 + 4 $$ Если 15-е — понедельник, то:

16-е — вторник,
17-е — среда,
18-е — четверг,
19-е — пятница.

Ответ:

19-е число было пятницей, а месяц был из 30 дней.

2) Задача про топливо

Дано:

$6$ одинаковых двигателей за $8$ ч расходуют $672$ л топлива.

Найдём расход одного двигателя за $1$ час.

Общее количество моторо-часов: $$ 6 \cdot 8 = 48 $$

Значит, расход на $1$ моторо-час: $$ \dfrac{672}{48} = 14 \text{ л} $$

То есть один двигатель расходует $14$ л в час.

Теперь найдём, на сколько часов хватит $98$ л: $$ \dfrac{98}{14} = 7 $$

Ответ:

98 л топлива хватит одному двигателю на 7 часов.