ГДЗ
Математика 5 класс

ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 578

Задание:

Номер 578.
Вычислите периметр и площадь фигуры, изображённой на рисунке 149 \(размеры даны в сантиметрах\).


Номер 578.
Найдите остаток при делении на 10 числа: 31, 47, 53, 148, 1596, 67389, 240750. Выскажите гипотезу, чему равен остаток при делении числа 10, и обсудите на уроке, верна ли ваша гипотеза.

Решение:

Номер 578

1) Периметр и площадь фигуры на рисунке 149

На рисунке даны две фигуры: а и б. Найдём для каждой периметр и площадь.

Фигура а

Дано:

  • верхняя горизонтальная сторона: \(18\) см;
  • правая вертикальная сторона: \(15\) см;
  • нижняя горизонтальная сторона: \(18\) см;
  • левая верхняя вертикальная часть: \(5\) см;
  • горизонтальный “выступ” слева: \(8\) см.

Найдём недостающие стороны

Фигура состоит из большого прямоугольника \(18 \times 15\), из которого вырезан прямоугольник в левом нижнем углу.

Высота выреза: $$ 15 - 5 = 10 \text{ см} $$

Площадь

Площадь большого прямоугольника: $$ S_{\text{больш}} = 18 \cdot 15 = 270 $$

Площадь вырезанного прямоугольника: $$ S_{\text{выр}} = 8 \cdot 10 = 80 $$

Тогда площадь фигуры: $$ S = 270 - 80 = 190 \text{ см}^2 $$

Периметр

Обходим фигуру по контуру:

  • верхняя сторона: \(18\)
  • правая сторона: \(15\)
  • нижняя сторона: \(18\)
  • внутренняя вертикальная сторона: \(10\)
  • внутренняя горизонтальная сторона: \(8\)
  • левая вертикальная сторона: \(5\)

Складываем: $$ P = 18 + 15 + 18 + 10 + 8 + 5 = 74 \text{ см} $$

Ответ для фигуры а:

$$ P = 74 \text{ см}, \qquad S = 190 \text{ см}^2 $$

Фигура б

Дано:

  • левая вертикальная сторона: \(11\) см;
  • нижняя горизонтальная сторона: \(18\) см;
  • верхняя горизонтальная сторона совпадает по длине с нижней: \(18\) см;
  • верхняя часть правого выступа: \(4\) см;
  • горизонтальный выступ вправо: \(6\) см;
  • нижняя часть правого выступа: \(7\) см.

Найдём площадь

Фигура состоит из большого прямоугольника \(18 \times 11\) и выступа справа.

Площадь большого прямоугольника: $$ S_{\text{больш}} = 18 \cdot 11 = 198 $$

Площадь правого выступа: $$ S_{\text{выст}} = 6 \cdot 4 = 24 $$

Тогда площадь фигуры: $$ S = 198 + 24 = 222 \text{ см}^2 $$

Периметр

Обходим контур фигуры:

  • верхняя сторона: \(18\)
  • правая верхняя вертикальная часть: \(4\)
  • верхняя горизонтальная часть выступа: \(6\)
  • правая нижняя вертикальная часть: \(7\)
  • нижняя сторона: \(18\)
  • левая сторона: \(11\)

Складываем: $$ P = 18 + 4 + 6 + 7 + 18 + 11 = 64 \text{ см} $$

Ответ для фигуры б:

$$ P = 64 \text{ см}, \qquad S = 222 \text{ см}^2 $$

2) Остаток при делении на \(10\)

При делении на \(10\) остаток равен последней цифре числа.

Рассмотрим числа:

  • \(31\) — остаток \(1\)
  • \(47\) — остаток \(7\)
  • \(53\) — остаток \(3\)
  • \(148\) — остаток \(8\)
  • \(1596\) — остаток \(6\)
  • \(67389\) — остаток \(9\)
  • \(240750\) — остаток \(0\)

Гипотеза

Остаток при делении на \(10\) равен последней цифре числа.

Это верно, потому что любое число можно представить в виде: $$ N = 10k + r, $$ где \(r\) — остаток при делении на \(10\), причём \(0 \le r < 10\).
Именно \(r\) и есть последняя цифра числа.

Итог

Фигура а:

$$ P = 74 \text{ см}, \qquad S = 190 \text{ см}^2 $$

Фигура б:

$$ P = 64 \text{ см}, \qquad S = 222 \text{ см}^2 $$

Остатки при делении на \(10\):

$$ 31 \to 1,\quad 47 \to 7,\quad 53 \to 3,\quad 148 \to 8,\quad 1596 \to 6,\quad 67389 \to 9,\quad 240750 \to 0 $$

Гипотеза:

Остаток при делении на \(10\) равен последней цифре числа.

Предыдущее задание Следующее задание