ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 654

Задание:

Номер 654.
Сколько двухзначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8 и 9 так, чтобы цифры были записаны в порядке убывания?

Номер 654.
Может ли число, в записи которого все цифры равны 1, делится нацело на число, в записи которого все цифры равны 2?

Решение:

1) Сколько двухзначных чисел можно составить из цифр \(6,7,8,9\) так, чтобы цифры были записаны в порядке убывания?

Нужно составить двухзначное число, то есть выбрать две разные цифры из четырех: \(6,7,8,9\).

Так как цифры должны идти в порядке убывания, то для каждой выбранной пары цифр существует ровно одно подходящее число.

Посчитаем число пар:

$$ \binom{4}{2} = 6 $$

Перечислим их:

$$ 98,\ 97,\ 96,\ 87,\ 86,\ 76 $$

Ответ: \(\boxed{6}\)

2) Может ли число, в записи которого все цифры равны \(1\), делиться нацело на число, в записи которого все цифры равны \(2\)?

Рассмотрим числа вида:

• из одних единиц: \(\underbrace{11\ldots1}_{n \text{ цифр}}\),
• из одних двоек: \(\underbrace{22\ldots2}_{m \text{ цифр}}\).

Первое число можно записать как

$$ \underbrace{11\ldots1}_{n} = \frac{10^n - 1}{9} $$

Второе число:

$$ \underbrace{22\ldots2}_{m} = 2\cdot \frac{10^m - 1}{9} $$

Чтобы число из единиц делилось на число из двоек, оно должно быть чётным делителем? Но число из единиц всегда нечётное, а число из двоек всегда чётное.

Действительно:

• любое число, составленное только из единиц, оканчивается на \(1\), значит, оно нечётное;
• любое число, составленное только из двоек, оканчивается на \(2\), значит, оно чётное.

Нечётное число не может делиться на чётное нацело.

Ответ: \(\boxed{\text{Нет, не может}}\)