ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 718

Задание:

Номер 718.
К пяти разным замкам есть пять ключей, причём неизвестно, какой ключ к какому замку подходит. Барон Мюнхаузен утверждает, что можно не более чем за десять попыток подобрать ключ к каждому замку. Прав ли барон Монхаузен?

Номер 718.
С одного места в одном направлении по велотреку одновременно стартовали два велосипедиста. Один из них делает круг за 1 мин, а другой – за 45 с. Через какое наименьшее количество минут после начала движения они одновременно окажутся в месте старта? Сколько кругов по велотреку при этом сделает каждый из них?

Решение:

Задача 718

1) Про замки и ключи

Пусть есть \(5\) разных замков и \(5\) разных ключей, причём заранее неизвестно, какой ключ к какому замку подходит.

Нужно понять, можно ли всегда подобрать все ключи к замкам, сделав не более 10 попыток.

Идея

Для каждого ключа можно проверять замки по очереди, пока не найдётся подходящий.
Но важно: как только один ключ подошёл к замку, этот замок и этот ключ больше не рассматриваются.

Рассмотрим худший случай.

• Для первого ключа может понадобиться до \(4\) проб: если он последний из оставшихся замков, то на \(5\)-й проверке он точно найдётся, но одна из проверок уже может быть «лишней» по счёту попыток в зависимости от стратегии.
• Удобнее считать так: при последовательном подборе
  • для одного ключа нужно не более \(5\) попыток,
  • для следующего — не более \(4\),
  • затем \(3\),
  • затем \(2\),
  • затем \(1\).

Тогда общее число попыток в худшем случае равно

$$ 5+4+3+2+1=15. $$

Это уже больше \(10\).

Вывод

Барон Мюнхаузен неправ: за \(10\) попыток гарантированно подобрать все ключи к замкам нельзя.

2) Про двух велосипедистов

Пусть длина велотрека равна \(L\).

Тогда:

• первый велосипедист делает круг за \(1\) минуту, значит его скорость равна \(L\) в минуту;
• второй делает круг за \(45\) секунд \(= \frac{3}{4}\) минуты, значит его скорость равна $$ \frac{L}{3/4}=\frac{4L}{3} $$ в минуту.

Они одновременно снова окажутся в месте старта тогда, когда каждый из них проедет целое число кругов.

Найдём наименьшее время, которое кратно и \(1\) минуте, и \(45\) секундам.

$$ 1\text{ мин} = 60\text{ с}, \qquad 45\text{ с}. $$

Наименьшее общее кратное чисел \(60\) и \(45\):

$$ \operatorname{lcm}\(60,45\)=180\text{ с}=3\text{ мин}. $$

Значит, через \(3\) минуты они одновременно окажутся у старта.

Сколько кругов сделает каждый?

• Первый: $$ \frac{3}{1}=3 $$ круга.
• Второй: $$ \frac{3}{3/4}=4 $$ круга.

Ответ

1)

Нет, барон Мюнхаузен неправ: в худшем случае нужно до \(15\) попыток.

2)

Они одновременно окажутся в месте старта через \(\mathbf{3}\) минуты.
При этом первый сделает \(\mathbf{3}\) круга, а второй — \(\mathbf{4}\) круга.