ГДЗ ГДЗ Математика 5 класс учебник Мерзляк, Полонский - Номера упражнений - 790

Задание:

Номер 790.
При каких натуральных значения а является верным неравенство, левая часть которого – неправильная дробь: 1) 20/a < 2; 2) 4/a > a.

Номер 790.
Как с помощью линейки измерить диагональ кирпича, имея ещё несколько таких кирпичей? $Диагональ параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани.$

Решение:

1) При каких натуральных значениях $a$ верно неравенство, левая часть которого — неправильная дробь

1) $\dfrac{20}{a} < 2$

Решим неравенство:

$$ \frac{20}{a} < 2 $$

Так как $a$ — натуральное число, то $a>0$, можно умножить обе части на $a$:

$$ 20 < 2a $$

Разделим обе части на $2$:

$$ 10 < a $$

Значит,

$$ a \in {11,12,13,\dots} $$

Но по условию левая часть должна быть неправильной дробью, то есть

$$ \frac{20}{a} \ge 1 $$

Следовательно,

$$ \frac{20}{a} \ge 1 \quad \Longleftrightarrow \quad a \le 20 $$

Совмещаем условия:

$$ 10 < a \le 20 $$

Ответ:

$$ a = 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 $$

2) $\dfrac{4}{a} > a$

Решим неравенство:

$$ \frac{4}{a} > a $$

Так как $a>0$, умножим обе части на $a$:

$$ 4 > a^2 $$

Так как $a$ — натуральное число, получаем:

$$ a^2 < 4 $$

Подходят только:

$$ a = 1,2 $$

Теперь учтём условие, что левая часть — неправильная дробь:

$$ \frac{4}{a} \ge 1 \quad \Longleftrightarrow \quad a \le 4 $$

Оба найденных значения подходят.

Ответ:

$$ a = 1,2 $$

2) Как с помощью линейки измерить диагональ кирпича, имея ещё несколько таких кирпичей?

Пусть у кирпича размеры $a$, $b$, $c$. Нужно измерить его пространственную диагональ.

Идея

Если сложить три одинаковых кирпича так, чтобы они образовали прямоугольный параллелепипед с размерами:

$$ 2a,\quad 2b,\quad 2c $$

то его диагональ будет в $2$ раза больше диагонали одного кирпича.

Как сделать

Возьмите 8 одинаковых кирпичей и сложите их в один большой прямоугольный параллелепипед $2a \times 2b \times 2c$.
Измерьте линейкой его пространственную диагональ $D$.
Тогда диагональ одного кирпича равна:

$$ d = \frac{D}{2} $$

Почему это верно

Диагональ прямоугольного параллелепипеда с размерами $a,b,c$ равна

$$ d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} $$

У параллелепипеда $2a,2b,2c$ диагональ будет:

$$ D = \sqrt{$2a$^2+$2b$^2+$2c$^2} = \sqrt{4$a^2+b^2+c^2$} = 2\sqrt{a^2+b^2+c^2} = 2d $$

Значит, измерив $D$, получаем

$$ d=\frac{D}{2} $$

Ответ

1)

$$ \frac{20}{a}<2 \Rightarrow a=11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 $$

$$ \frac{4}{a}>a \Rightarrow a=1,2 $$

2)

Сложить несколько одинаковых кирпичей в двойной по всем измерениям прямоугольный параллелепипед, измерить его диагональ линейкой и разделить результат на $2$.